문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 각운동량 연산자 (문단 편집) ==== 자유입자 ==== 자유입자의 경우 [math(\hat{V}=0)]이므로 해밀토니언 연산자는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{H}}=\frac{\hat{\mathcal{P}}_{r}^{2}}{2m}+\frac{\hat{L}^{2}}{2mr^{2}} \end{aligned} )] }}} 이미 자유입자에 대하여 다음을 증명한 바 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} [\hat{\mathcal{H}},\,\hat{L}^{2}]=[\hat{\mathcal{H}},\,\hat{L}_{z}]=0 \end{aligned} )] }}} 따라서 해밀토니언 연산자에 대한 고유함수는 각운동량 제곱 연산자와 공유하고, 이것은 또 한 축의 각운동량 성분에 대한 연산자와 공유한다. 이에 해밀토니언 연산자에 대한 고유함수를 다음 꼴로 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi(r,\,\theta,\,\phi)=R(r)Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) \end{aligned} )] }}} 이것을 이용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{H}}\varphi(r,\,\theta,\,\phi)&=\frac{1}{2m} \biggl[ \hat{\mathcal{P}}_{r}^{2}R(r)Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)+\frac{\hat{L}^{2}}{r^{2}}R(r)Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)\biggr] \\ &=\frac{1}{2m} \biggl[ Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)\hat{\mathcal{P}}_{r}^{2}R(r)+\frac{R(r)}{r^{2}}\hbar^{2}l(l+1) Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) \biggr] \\&=E \varphi(r,\,\theta,\,\phi) \end{aligned} )] }}} 정리하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (rR(r))-l(l+1)\frac{R(r)}{r^{2}}&=-\frac{2mE}{\hbar^{2}}R(r) \\ \frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (rR(r))-\biggl[\frac{l(l+1)}{r^{2}}-k^{2} \biggr]R(r) &=0 \qquad \biggl(\frac{2mE}{\hbar^{2}} \equiv k^{2} \biggr) \\ r^{2}\frac{\partial^{2}R(r)}{\partial r^{2}}+2r\frac{\partial R(r)}{\partial r}+[r^{2}k^{2}-l(l+1) ]R(r)&=0 \\ x^{2}\frac{\partial^{2}R(x)}{\partial x^{2}}+2x\frac{\partial R(x)}{\partial x}+[x^{2}-l(l+1) ]R(x)&=0 \end{aligned} )] }}} 이것은 [[베셀 함수#s-4.3|구면 베셀 방정식]]이고, 제2종 구면 베셀 함수는 [math(x\to 0)]에서 발산하는 문제가 있기에 제1종 구면 베셀 함수만 그 해로 택하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi(r,\,\theta,\,\phi)=| l,\,k,\,m \rangle=j_{l}(kr)Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) \end{aligned} )] }}} 수학적으로 다음과 같음이 알려져있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \langle l,\,k,\,m| l',\,k',\,m' \rangle=\frac{\pi}{2k^{2}}\delta_{ll'}\delta_{mm'}\delta(k-k') \end{aligned} )] }}} 직교 좌표계에서 자유입자의 고유함수를 구하면 아래와 같음이 알려져있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \psi=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} e^{i \mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}} \end{aligned} )] }}} 이 상태에서 운동량과 해밀토니언을 측정하면 각각 [math(\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k})], [math(\mathcal{H}=\hbar^{2} k^{2}/2m)]을 준다. 만일 [math(\mathbf{k}=k \mathbf{e}_{r}+\alpha \mathbf{e}_{\theta}+\beta \mathbf{e}_{\phi})]일 때, 위 상태에서 각운동량과 관계된 물리량을 측정하면 어떠한 상태가 되는가? 이것은 위의 상태는 선운동량과 해밀토니언에 대하여 결정된 상태임을 이해하면 쉽게 결론을 내릴 수 있다. 이것을 각운동량과 해밀토니언의 고유함수들로 중첩된 상태 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} e^{i \mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}}=4\pi \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}i^{l} Y_{l}^{m\ast}(\alpha,\,\beta) | l,\,k,\,m \rangle \end{aligned} )] }}} 으로 생각하면 그 답이 나온다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기